Como dominar a classificação de Funções de Variável real de uma vez por todas

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Saudações mais uma vez caros leitores, Classificação das Funções reais de Variável Real é um tema muito importante a ser estudado quando falamos das Funções reais de Variável Real, é importante saber identificar os tipos de Funções que que frequentemente aparecem nos exercícios que resolvemos, dominar essa matéria, significa posteriormente terás mais facilidades em resolver os diferentes tipos de problemas matemáticos que somos propostos durante o nosso processo de ensino.

Abaixo estão  as classificações das funções reais de variável real, apresentamos diversos exemplos para tentar fazer com que você perceba melhor. Boa leitura e esperamos que este conteúdo o ajude de alguma forma. Esperamos sua colaboração.

Vamos lá...

Classificação das Funções Reais de Variável Real

As funções classificam-se em: injectiva, sobrejectiva e bijectiva.

Injectiva

Uma função diz-se injectiva quando os objectos diferentes têm sempre imagens diferentes, ou seja, cada elemento do conjunto B for imagem de apenas um elemento do conjunto A. 

x₁≠x₂ ⇔ f(x₁) ≠ f(x₂) , ∀x₁; x₁ ∈ Df 

Verifica-se se a função é ou não injectiva graficamente, traçando rectas paralelas ao eixo das abcissas e se elas interceptam em apenas um ponto, a função é injectiva, caso contrário ela não é injectiva.

Exemplo:

1. Vamos verificar se as funções abaixo são ou não injectivas.

a)

Fig.2: A função não é injectiva, pois b e c em A têm a mesma imagem em B.

b)

Fig.3: A função é injectiva.

c) 

Fig.4: A função não é injectiva porque há pelo menos um elemento de y que é imagem de dois objectos.

d)

Fig.5: A função é injectiva.

Sobrejectiva

Uma função diz-se sobrejectiva quando o contra domínio Df’ coincide com o conjunto de chegada, ou seja, uma função é sobrejectiva se e só se a imagem de f, ou seja, o contradomínio, for o próprio conjunto B.

Verifica-se se a função é ou não sobrejectiva graficamente, traçando rectas paralelas ao eixo das abcissas e se elas interceptam em apenas um ponto, a função é sobrejectiva, caso contrário ela não é sobrejectiva.

Exemplo:

1. Vamos verificar se as funções abaixo são ou não sobrectivas.

a)

Fig.6: A função não é sobrejectiva, pois 4 não é imagem mas pertence ao conjunto B.

b)

Fig.7: A função não é sobrejectiva porque nem todos os y são imagens de objectos x.

c)

Fig.8: A função é sobrejectiva porque qualquer elemento de y é imagem de pelo menos um objecto de x. 

Bijectiva

Uma função diz-se bijectiva quando em simultaneamente é injectiva e sobrejectiva.

Verifica-se se a função é ou não bijectiva graficamente, traçando rectas paralelas ao eixo das abcissas e se elas interceptam em apenas um ponto, a função é bijectiva, caso contrário ela não é bijectiva.

Exemplo:

1. Vamos verificar se as funções abaixo são ou não bijectiva.

a)

Fig.9: A função é bijectiva.

b)

Fig.10: A função não é bijectiva porque não é sobrejectiva.

c)

Fig.11: A função não é bijectiva porque não é injectiva e também não é sobrejectiva.

d)

Fig.12: A função não é injectiva

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