Funções Reais de Variável Real

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Funções

Uma  função é uma aplicação entre conjuntos. Onde são relacionados cada um dos elementos de um conjunto A (representado pela variável x) à um único elemento do outro conjunto B (representado pela variável y). Para cada valor de x, podemos determinar um valor de y, dizemos então que “y está em função de x”.

Uma função é uma aplicação entre conjuntos numéricos. Para indicar que entre dois conjuntos A e B há uma função utilizaremos a notação:

f : A → B

Existem várias formas de expressar uma função:

y = ax + b

f (x) = ax + b

entre outras.

Se f for uma função e   f(x) = y, diremos que y é a imagem de x pela função e que x é o original, anti-imagem ou objecto de y pela função.

Em toda a função entre dois conjuntos A → B os elementos do conjunto A recebem o nome de variável da função.

Exemplificando, tomemos a função:

f : N → Z 

f(x) = 5x + 2

f (2) = 5 * 2+2 = 12, 2 ∈ N

diremos que 12 é a imagem de 2, e que 2 é o objecto ou anti-imagem de 12.

Funções Reais de Variável Real

Uma função real de variável real é uma função em que tanto os elementos do conjunto de partida (conjunto dos objectos) como os do conjunto de chegada (conjunto imagem) são números reais, isto é, pertencem ao conjunto R, e representa-se por:

f : R → R

As funções f(x) = x + 3, f(x) = x² + 2x + 1, f(x) = 3x + 1/2, são exemplos de funções reais de variável real. Se dermos a x um valor real, ao realizar as operações obteremos sempre um número real f(x).

Pode acontecer que nem todos os números reais tenham imagem pela função. O conjunto formado pelos números reais que têm imagem chama-se domínio.  Em geral, uma função real de variável real tem a seguinte expressão:

f : A → R

sendo A um subconjunto de R, que irá corresponder ao domínio da função.

As funções reais podem ser definidas por: diagrama de Venn, tabela, expressão analítica e gráfico.

Representação Gráfica de uma Função

O gráfico de uma função permite ver, muito facilmente, toda a sua evolução. Porém, por vezes, pode ser mais cómodo trabalhar com a equação ou fórmula da função, já que com ela temos à nossa disposição o conjunto de operações que devemos aplicar à variável independente, normalmente representada por x, para obter a variável dependente, normalmente representada por y.

Dado que o conjunto dos números reais se pode representar sobre uma recta, o método de coordenadas cartesianas serve para representar funções.

Observemos os gráficos das figuras. Como podemos observar, a variável independente x é representada sobre o eixo das abcissas e a variável dependente y sobre o eixo das ordenadas.

Monotonia 

Uma função é monótona no intervalo do seu domínio, se for crescente ou decrescente nesse intervalo.

• ∀x₁;x₂ ∈ Df: x₁<x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂) →  A função é crescente  

• ∀x₁;x₂ ∈ Df: x₁>x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂) →  A função é decrescente

Os intervalos de monotonia são os intervalos do domínio onde a função é crescente ou decrescentes.
Uma função desce constante num intervalo do domínio se nesse intervalo tiver a mesma imagem.


Mais conteúdos sobre este tema:

• Classificação das Funções Reais de Variável Real;

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